如何控制电机快速平稳的从A点到B点

一路上

这是一个简单但非常有趣的问题。如何在最短的时间内，从A点运动到B点，并准确的停止在B点。有些地方可能称此类问题为「最小时间控制」或者「最佳时间控制」等。

假设一个物体的质量为M，对其施加外力为F，假设它沿着直线做一维运动。
忽略上述最短时间问题，很明显的线性控制方法是PD控制器。如果选定了控制器增益以使闭环响应不会欠阻尼，那么物体M会收敛到B而不会过冲。假定系统是理想的，逐步提高增益，那么收敛速度会越来越快。

固定了增益，闭环响应将会受到抑制。下图显示了闭环固有频率，随着增益的提高，响应变得越来越快，但是所需的力也随之增加。

下图是Wn=2情况下理想PD控制器性能的动态图：

用正方形的盒子代表物体M，红色的箭头是施加的力F。

现在添加一个简单的约束，限制F的大小。下面是其它理想线性系统下PD控制器的性能表现。它们从同一点开始，尽管Wn=10增益更高，但就大多数指标而言，它的阶跃响应比其它情况要更差。那么为什么不选择曲线看起来更平滑的增益呢，图中的黄色线和红色线看起来更好。

下图为采用较小步进位置的性能表现。看起来具有较高增益的绿色曲线具有最佳的性能。因为控制器几乎没有使力的极限达到饱和，并且依然表现出线性关系。因此，采用这种线性控制策略，没有一种单一的控制方法可以适用于不同步长的位置控制，并表现出相同的性能。

由以上分析可知，在这种有限作用力的情况下，对于如何从A点到B点并完全停止的问题有一个非常直观的答案。显然，在加速时，我们应尽可能长时间施加最大力，之后减小一部分力，最后在反方向上施加最大力，以便于尽快停止。

下图展示了这种操作：

该系统有两个状态，位置 x 和速度 x ? 。相平面图是位置和速度的关系图。控制器的目的是让物体M回到原点，即位置=0，速度=0；要弄清楚控制方法，我们从原点回退，首先，当对物体施加恒定的力F或-F时，会发生什么？牛顿公式F=Ma，物体会在力的作用下做加速运动，最后停到原点位置 x=0 和速度 x ?=0 .
可以通过对加速度的积分获取速度，再次积分获取位置：

为了在相平面图上绘制速度和位置的轨迹图，我们必须去掉时间这个变量，因此我们可以将速度写成位置的函数：

由此得到类似侧向抛物线的轨迹图，左边是施加了-F，右边施加了F。

粗体曲线形成一个切换面，并将状态空间一分为二。当物体位于切换面左侧或下方时，应对其施加正向的作用力，使物体趋向于橙色曲线方向运动；一旦到达橙色曲线控制器应施加负向作用力，以使其跟随橙色曲线，并在原点处停止。类似的，当物体位于切换面右侧或上方时，则控制器应施加最大的负向作用力，直到达到蓝色粗体曲线。此时应施加正向最大力，直到物体达到原点为止。

将上述关系用阴影表示，在橙色阴影处，控制器应施加负向作用力，在蓝色阴影处，控制器应施加正向作用力。

实现上述方式的算法可以表示为：

通过以上公式可以求得施加在物体上的作用力。如果想达到原点以外的某个点，只需要将右侧的x替换为x_desired.
获得相同结果的一种可能更直观的方法是能量检测，物体的动能可以表示为：

控制器在物体到达原点之前可以去除的能量是力在整个距离上的积分，或者在这种情况下仅为：

因此，控制器应该在其可以去除的能量等于存储在其内的动能的位置处进行切换，例如停止距离与到原点的距离相同。
用相平面描述前面的动图。物体的轨迹以红色标识，蓝色抛物线轨迹标识它以正向力开始的轨迹，一旦撞到橙色轨迹，它将切换为负向力，以停止在所需位置。

看起来很酷，但是如果存在与最大力不同的限制该怎么办？例如，物体由一个带有直流电机的控制器驱动，并且有一个可以施加到电机端的最大电压V。
忽略电感，直流电机的性能由以下公式描述：

其中i是通过电机的电流，R是电阻，Kt是转矩常数，ω是电机的角速度，T是力矩。
现在，控制器受电压限制，而不是受力或者力矩限制。但是我们可以采用相同的相平面图来描述，并得出尽快达到原点的切换面。
在实际解决切换面之前，使用一些直觉来预测我们所期望的恒压解决方案曲线图是有所帮助的。最明显的是，最大电压约束施加了速度约束，也就是电动机空载的速度。因此在第一象限和第三象限，速度应趋向等于：

对于第二象限和第四象限，直觉不清楚确切的现象是什么，但是随着速度的增加，力也会增加，因此曲线的斜率也会比恒力抛物线更抖。原点周围，电机处于低速状态，其行为主要类似一个电阻器，曲线应看起来或多或少类似于侧向抛物线，类似恒力的情况。
下图为预想的草图：

要找到新的切换面，我们需要在施加恒定电压的情况计算求解曲线。为了使符号与恒力情况下一致，我们令：

那么

初始条件:

求解微分方程:

要获得相平面，由公式2求解t:

将(4)代入(3)得到位置和速度的相平面曲线方程：

下图为实际曲线图，从图中可以看出，还是非常接近预期，切换面以粗体线表示：

要获得实际的控制规律，需要对符号和绝对值进行更多的调整，以选择求解曲线的正确象限：

下图为实际结果图：

文章参考：Benkatz How to get from Point A to Point B very fast
作者:上官致远