一文彻底读懂Smith圆图

一路上

前言

文章从8个小节详讲，分为，1.关于Smith圆图；2.等反射系数圆；3.等反射系数圆的分析；4.归一化阻抗圆；5.电阻圆；6.电抗圆；7.完整的Smith阻抗圆图总结；8.导纳圆图。

1、关于Smith圆图

Smith圆图是1939年由P.Smith在贝尔电话实验室工作时开发的。

史密斯圆图由两族圆组成：等反射系数圆、归一化阻抗圆图。归一化阻抗圆又包含了电阻圆、电抗圆两种。

2、等反射系数圆

首先线上任意一点的反射系数等于下式：

注意：典型的传输线系统如下，只要写的是z’，表示的是从负载端为坐标起点。另外z’/λ也就是电长度。

上面的反射系数式子，用实部和虚部的形式表示为：

用模的形式表示，有：

如果以Гu为横轴（可以理解为x轴），Гv为纵轴（可以理解为y轴），画图,那么上式就就是以原点为圆心，反射系数的幅值|Г|为半径的圆。这个圆就是等反射系数圆。如下图：

3、等反射系数圆的分析

根据反射系数的计算公式：

当终端短路时，即Zl=0。此时反射系数Гl就为-1。-1也就是1ejπ。所以，短路点在坐标轴中的位置为（-1，0），即实部为-1，虚部为0，在圆图中的最左边的一点。

当终端开路时，即Zl为无穷大，根据上式两个相等的无穷大比值就为1。此时反射系数Гl就为1。1也就是1ej0。所以，开路点在坐标轴中的位置为（1，0），即实部为1，虚部为0，在圆图中的最右边的一点。

当终端接负载等于传输线特性阻抗（Z0=Zl），此时反射系数就为0。所匹配点在圆心（0，0）的位置。

因为反射系数的模值范围是：0≤|Г|≤1，所以等反射系数圆是一族以原点为圆心的同心圆，最小圆的半径为0，此处为匹配点。最大圆的半径为1，这个圆代表着全反射。

再根据下式来分析幅角θ。θ是从坐标原点出发，终止于单位圆的射线，并规定单位圆与正实轴的交点为θ=0°，从该点逆时针方向旋转一周，θ从0°增加到360°。

反射系数的幅角的变化与传输线上两点间的电长度△z’/λ有关，因此通常可以用电长度来表示幅角。当z’=λ/4时，幅角-2βz’就等于-π。因此，半个圆周就相当于0.25λ，整个圆周相当于0.5λ。

另外，z’为正的时候，幅角θ为负数，也就是顺时针。注意前面说过，只要写的是z’，表示的是从负载端为坐标起点。所以，在圆图中顺时针转的时候，就是从负载向电源端转，逆时针就是向负载转。

4、归一化阻抗圆

实际的阻抗等于下式，注意Zc是特性阻抗，有时也用Z0表示，一般无耗传输线用Zc。

归一化的阻抗写成下式：

反射系数Г在前面已经用下式表示：

所以把上式代入到z，就可以得到z关于Гu和Гv的等式。将z也写成实部和虚部的形式：

其中，把代入后得到的r和x值求出来，得到：

把上面两个式子，再整理一下，就有了以下的式子：

还是以Гu为横轴，Гv为纵轴，这两个方程都是圆的方程。画圆，当归一化的电阻r取不同常数时，第一个式中画出来的一族圆，就称为归一化电阻圆，第二个式子画出的圆为电抗圆。

5、电阻圆

当Гu =1，Гv=0时，上式恒成立。所以不管r等于多少，这些圆都恒过（1，0）坐标点。

分析电阻圆的公式，圆心为（r/（1+r），0），半径为1/（1+r）。r越大，对应的等电阻圆的半径就越小。电阻r的范围是0≤r＜∞。

6、电抗圆

圆心为（1，1/x），半径为1/|x|，注意电阻r不可能有负的电阻，但x可正可负。x为正，代表感性，x为负，代表容性。所以可以画出来两组，而且恒过（1，0）点，如下所示：

由于反射系数的限制，所以上图彩色圆的部分只有虚线内的才是可以用的。所以得到的电抗圆图如下所示：

7、完整的Smith阻抗圆图总结

将上述的等反射系数圆、等归一化的电阻圆、等归一化的电抗圆重叠在一起，就构成了完成是阻抗圆图，又称史密斯圆图。

根据以上对圆图构成的分析，可以得到以下的结论：

（1）圆图的中心点对应于Г=0，r=1（即Zl=Zc），x=0，ρ=1，是匹配点。

（2）实轴上的所有点（两端点除外）表示为纯归一化电阻。这是因为当x等于0时，电抗圆的半径为∞，等电抗圆退化为实轴。

（3）实轴左端点对应的Г= -1，z=0，故该点是短路点。

（4）实轴右端点对应的Г= 1，z=∞，故该点是开路点。

（5）圆图的单位圆对应于Г= 1，r=0，z = jx，所以该圆为纯归一化电抗圆。

（6）实轴以上x＞0，所以上半圆各点代表各种不同数值的感性阻抗。

（7）实轴以下x＜0，所以下半圆各点代表各种不同数值的容性阻抗。

（8）圆图的右半实轴（幅角θ=0°）上的点对应于传输线上电压的同相位点，所以的电压波腹点（电流波节点），r的值即为电压驻波系数ρ的值。左半实轴对应电流波腹点（电压波节点），即电流的同相位点。

（9）圆图最外圈标有电长度的刻度，阻抗圆图上的电尺寸刻度的起算点在实轴的左端点。圈外刻度顺时针转，即“向波源方向”。逆时针转，是“向负载方向”。

（10）串联电感：顺时针沿电阻圆移动。

因为电感和电容都只影响复阻抗，所以实部电阻是不变的，仍然在恒阻圆上。同时，电感的感抗jωL为正，串联电感，电感增大，感抗增大。由于电抗圆中，顺时针的感抗是增大的（可看上面电抗圆图中x=0.5，x=1，x=2，x=4的位置，顺时针时候感抗是增大的），所以串联电感是沿着电阻圆、顺时针转。

（11）串联电容：逆时针沿电阻圆移动。

串联电容，电容是减小的，容抗减小（负的更多了），所以逆时针转。

（12）并联，一般在导纳圆图中转，具体见下文的导纳圆图。此时：

并联电感：沿着电导圆、逆时针移动。

并联电容：沿着电导圆、顺时针移动。

8、导纳圆图

传输线上并联元件或并联分支线，用导纳计算要比阻抗计算方便，用于导纳计算的圆图称为导纳圆图。

因为导纳Y是阻抗Z的倒数，所以传输线上归一化的导纳为：

上式也可写做：

这个式子和阻抗圆图的表达形式完全一样，只是将原来电压反射系数Г换成了电流反射系数ГI。因此，导纳圆图和阻抗圆图的图形完全相同，只是将阻抗圆图作为导纳圆图使用时，应将阻抗圆图中的r、x和Г相应地换位g，b和ГI。

在将阻抗圆图作为导纳圆图使用时，因为ГI = -Г，所以原来阻抗圆图实轴上的电压波腹点和电压波节点的位置，在导纳圆图实轴上分别是电压波节点和电压波腹点的位置。原来阻抗圆图上的开路点和短路点的位置，在导纳圆图上对应短路点和开路点的位置。原来阻抗圆图上的电尺寸刻度的起算点在实轴的左端点，在导纳圆图上在实轴的右端点。两圆图的匹配点都是左边原点。

另外可在圆图上由归一化的阻抗求归一化的导纳。当位置z’= l时，阻抗和导纳有下列的等式：

所以传输线上任意点z’= l处的归一化输入阻抗与间隔λ/4位置处的归一化导纳是相等的。所以可在阻抗圆图上找到阻抗对应的点，沿着等反射系数圆将此点旋转180°，相当于z’变化了λ/4，就得到了导纳对应的点值。