傅里叶变换针对信号噪声滤波

一路上

一、引言

现在，手机、电脑与它们连接着的网络已是生活中不可或缺的部分，我们可以从中收到漂亮繁复的画面和音乐。

不知你有没有想过，信号在空气和电线中传播时都可能会受到干扰，如果得到的信号有瑕疵，计算机要如何将其中的问题修复呢？

二、电缆中的信号是什么样的？

要回答如何修复信号的问题之前，不妨先看看电缆和无线电里传导的信号可能会是什么样子？

图 2.1 简单电磁波成像

简单明了，凭借肉眼就能提取出它的波峰等等信息，计算机处理起来当然不在话下。

可是，当它和某种干扰信号叠加，就可能变成这样

图 2.2 信号叠加

那么，要如何把受干扰的信号，恢复为原来的样子呢？

要回答这个问题，就要请出今天的主角了。

接下来有请，让无数大学生考前头秃的“万恶之源”，信号处理与物理学大厦的根基之一，沟通时域与频域两个世界的“穿越桥梁”。

三、傅里叶变换能干什么

傅里叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。

简而言之，这是一种将这个。

图 3.1

表现为这个：

图 3.2

加这个的数学变换。

图 3.3

可以看到，第一段信号的每一部分，是第二和第三段的叠加。

有了傅里叶变换，电缆等信道里传输的信号就可以表示为多种简单信号的叠加。

如图2-2所示，信道里信号受到干扰实际上是正常信号和噪声信号混杂到了一起。

只要接收方收到经过信号之后，将其拆解，剔除其中的噪声信号，再重新叠加复原，去噪问题不就迎刃而解了吗？

可是，随着多个信号的“加入”，要被传输的信号很快就会变得复杂起来，就像这样

图 3.4

这不过是五条简单信号的叠加，已是“山峦险峻”，如果再加入噪声信号，可想而知会产生多么复杂的叠加信号。

那么，傅里叶变换要怎样将它拆开呢？

四、傅里叶变换的“数学机器”

在讲述傅里叶变换如何工作之前，我们不妨先将目前出现的信号图称为为“时域强度图”。

时域在横轴，强度在纵轴。

图 4.1

现在，拿出一个“数学机器”，试着把它缠绕到一个圆上。

图 4.2

傅里叶的“数学机器”是怎么实现这个花朵一样的图的呢？

很简单，先把“时域强度图”的时间t按一定比例f转为圆的角度，而高度等于半径。

图 4.3

一直向前，就能把时域图绕到圆心上了。

图 4.4

如果更改一定比例f，又会发生什么呢？

比如转得更快：

图 4.5

转得更慢：

图 4.6

而当f满足条件，使得时域图的一个周期正好能转化为360度时，有趣的事出现。

图 4.7

这个时候，圆圈的形心是这样的

图 4.8

而在别的时候，形心是这样的

图 4.9

也就是说，在缠绕频率和时域频率等同前，形心都会在圆心附近，唯有在缠绕频率和时域频率等同时，形心或者说质心才会出现相对巨大的偏移。

五、傅里叶变换个角度看问题

接下来，不妨把质心所在的坐标，和频率f一起画在坐标图上，将其称为“频域质心图”，我们会从中看到十分明显的现象。

图 5.1

不过，由于叠加的简单信号添加了上移，在f接近0时，质心靠右。

图 5.2

如果将信号下移，转变为均值为0的三角函数弧线，频率图则如下。

图 5.3

在仅有一个简单信号时，会有这么一个尖峰，那么如果多个简单信号叠加时，会怎样呢？

图 5.4

如图所示，和“时域强度图”一样，“频域质心图”同样会相互叠加，但是这么一个个高峰拆分起来，可就方便多了。

这就是傅里叶变换基本思想的可视化。

就像世界上许多的难解问题一样，换个角度，或许就能迎刃而解，信号从时域切换到频域，如何叠加和拆分的问题同样能迎刃而解。

那么，傅里叶变换又是具体如何实现的呢？

六、“数学机器”的数学实现

回到“数学机器”的旋转圆环里吧，我们首先要试着确定在时刻t对应的点。

g（t）的强度，对应的角度，转换为（x,y）……真令人头大，所以打住吧，我们不妨再次站在巨人的肩膀上。

首先，比起给二维平面的坐标点设置（x,y），数学家们更喜欢使用复数，像是这样（其中i为虚数，i*i=-1）

图 6.1

实部表示横坐标，虚部表示纵坐标。

如果你觉得这看起来和（x，y）没有区别，可在欧拉等数学家眼里，事情就方便多了。

根据著名的欧拉公式：

其中：

在复数平面所代表的点，就相当于绕半径为1的圆逆时针走了i个单位后所到达的地方。

图 6.2

而半径为1的圆的圆周为3.14...

所以，当 “数学机器”里缠绕速度为一单位时间一圈时，第t时的点在上。

一单位时间一圈又可以由f=1表示，那么更准确的表示应该是

再乘以半径，也就是“时域强度图”中的强度纵坐标：

好了，现在我们知道了每一个t时刻的点的所在位置了，接下来，当然是将它们连起来了。

图 6.3

还记得我们想要求什么吗？

这些线条的质心，实际上便是它们的形心；只要将所有点加起来，算它们的平均值，就能得到最终的结果了。

可是，一条线段上可以取无限个点，该怎么将它们全加起来再求平均值呢？

无限……接下来，就是简单的积分问题了。

现在，距离真正的傅里叶变换就仅有一步之遥了；那就是去掉：

去掉了这个部分，只要这段信号的持续时间够长，关键的尖峰就会被更加凸显出来，就像这样：

图 6.4

而在f不同的其他时候，由于持续时间越长，“数学机器”里缠绕的线圈也就越长，错落围绕在圆心周围，相互抵消，让频域图上的线依旧“平平无奇”。

根据这些频域图上出现的尖峰，接收方就可以找出发送中夹杂的噪声信号，因为它们往往频率较高，是分布在后面的尖峰。

七、傅里叶变换的广泛运用

实际上，针对信号噪声的滤波，只是傅里叶变换颇为简单的一种运用，它还能被应用于机器学习中、物理学中、热力学等。在数学世界里，傅里叶的“数学机器”如同一扇神奇的穿越之门，能帮科学家和计算机实现“换个世界看问题”，从而让许多问题能迎刃而解。

而日常生活中，傅里叶变换或许也能为我们看问题提供一种新角度，不只是关注“时域”，同时从“频域”的角度看问题。当我们的生活遇到问题，需要追根溯源时，我们不仅可以从“时间强度图”出发，寻找过往中与之相关的重大事件，还可以关注“频度图”，看看平时的日常里那些事是频繁去做的。

看似微不足道的事，日积月累后同样会引起质变，学会以“频度”的视角看问题，自己给自己的回忆做一次“傅里叶变换”，或许我们也能像那些伟大且神奇的数学家，让问题迎刃而解。